miércoles, 26 de mayo de 2010

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2] Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,[3] [4] formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[5]

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]


yo en el futuro





martes, 25 de mayo de 2010

materia
matematicas
profesor francisco
alumno :martin alberto sol cota
La función cuadrática

Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola.
Función y = x2
La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión general de la función cuadrática es la siguiente:

y = f (x) = ax2 + bx + c

siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.


El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es C, se establece que:

C2=b2a2


Razones
trigonometricas
Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un
triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el
coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan



Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes
Las razones trignométricas (seno, coseno, tangente…) aparecen muchísimas veces en Matemáticas relacionadas a cualquiera de sus ramas. Y en muchas ocasiones estamos obligados a calcular el valor de ellas en ciertos ángulos. Los que más suelen aparecer son estos 5 (los pongo en radianes con su equivalencia en grados):



Estos ángulos son los más característicos del primer cuadrante. Ahora lo que nos interesa es saber cuáles son los valores del seno, del coseno y de la tangente de estos ángulos (los de los ángulos característicos de los otros cuadrantes pueden obtenerse a partir de ellos). En principio podríamos aprendernos de memoria estos valores, pero probablemente con el tiempo los olvidemos. Lo que vamos a hacer es daros una simple regla para que esto no ocurra. Esta regla es la regla de la raíz de n:

Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes
Las razones trignométricas (seno, coseno, tangente…) aparecen muchísimas veces en Matemáticas relacionadas a cualquiera de sus ramas. Y en muchas ocasiones estamos obligados a calcular el valor de ellas en ciertos ángulos. Los que más suelen aparecer son estos 5 (los pongo en radianes con su equivalencia en grados):



La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:
es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.


La función cuadrática

Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola.
Función y = x2
La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión general de la función cuadrática es la siguiente:

y = f (x) = ax2 + bx + c

siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.
HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

•Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.


•Los segmentos con paralelos.


•Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

ANGULO CENTRAL

Es el ángulo cuyo vértice es el centro de un circulo y sus ladas con dos cuerdas del mismo.

ANGULO INSCRITO

Es el ángulo agudo, cuyo vértice es un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados con secantes de la misma.


Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que OA´= k * OA. Si k > 0 se llama homotecia directa y si k <> 0 la figura transformada es mayor que la original.
Cuando k = 0 la figura transformada es igual que la original.
Cuando k < 0 la figura transformada es menor que la original.


Relación funcional es cuando existe una relación exacta entre x e y, es decir, a cada valor de x (dominio) le corresponde un único valor de y ( imagen).
Función lineal porque cuyo dominio e imagen es el conjunto de los números reales su fórmula es Y=ax+b donde a es la pendiente y b la ordenada al origen y su gráfica es una linea recta.

relaciones no lineales: aspectos teóricos

En muchas ocasiones las relaciones entre la/s variable/s respuesta/s y las predictoras pueden considerarse en el marco de la linealidad asumiendo como válida la ecuación de la recta desde la que se obtendrán los estimadores adecuados. No obstante, existen situaciones en las que no puede mantenerse la referencia a la linealidad en las relaciones entre variables. Por tanto, es preciso acudir a otras funciones que representen de forma más adecuada las anteriores relaciones. La estrategia de modelización, en el marco de la regresión no lineal, permite realizar una elaboración interactiva de procedimientos de identificación, estimación, validación y uso de los modelos. Desde esta perspectiva, es posible abarcar una gran cantidad de posibilidades de acuerdo con diferentes características desde las que considerar las variables implicadas. Así, podría repararse, entre otros, en modelos con variable independiente fija, modelos con variable independiente aleatoria, modelos con variables cualitativas o modelos con errores autocorrelacionados. La exposición del trabajo que se presenta trata de dar a conocer algunos aspectos teóricos que deberían considerarse a la hora de obtener modelos representativos de relaciones no lineales entre variables


expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial:

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E

La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada hΩ, k envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

domingo, 23 de mayo de 2010

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.



Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.



Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0



La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.





Factorización:



Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.



Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:



1) x2 - 4x = 0

2) x2 - 4x = 12

3) 12x2 - 17x + 6 = 0



Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Teorema de Tales:
Sean dos rectas r y s cortadas por una serie de rectas paralelas separadas por la misma distancia. Se puede comprobar que si los segmentos AB, BC, CD y DE son iguales, los segmentos A'B', B'C', C'D' y D'E' son también iguales. Ver Tales1
Por eso decimos que: si varias paralelas determinan segmentos iguales en una recta r, también determinan segmentos iguales en otra recta s que las corte.

El Teorema de Tales dice: si dos rectas r y s son cortadas por segmentos paralelos, los segmentos que determinan en dichas rectas son proporcionales como podemos ver en esta construcción. También ocurre lo recíproco: si los segmentos son proporcionales entonces las rectas r y s son paralelas.
2.4
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los triángulos de la figura tienen un ángulo común A, los lados opuestos a A son paralelos.

Los triángulos encajados como éstos se dice que están en posición de Tales.

Mueve el botón para ver que estamos en las condiciones que enuncia el teorema de Tales. Se tiene por tanto:
Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.



En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeño y lado pequeño)

b y b' (lado mediano y lado mediano)


Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:

Criterios de Semejanza de Triángulos

I. Primer criterio

Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.


bloque2 bimestre2

jueves, 20 de mayo de 2010

Función lineal
Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.


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Función lineal





Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x)=4



En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "m" es el ángulo en radianes).

Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.


bloque 1 tema 1
bloque 1
Razón de cambio
El movimiento de un automóvil en una carretera está esencialmente determinado si conocemos su posición s como función del tiempo:
s = S ( t ) (1)



El gráfico que vemos representa la función S( t ) como una curva en el plano s - t llamada la trayectoria del vehículo. Esta figura muestra la posición de un auto que se aproxima y pasa un "cuello de botella" ubicada en la carretera. Esta trayectoria particular puede ser construida a partir de una serie de exposiciones fotográficas. Por ejemplo, en este caso, el tiempo de cada exposición está en segundos y la distancia en metros, los correspondientes valores de s y t pueden ser calculados en esta gráfica. Los postes del alumbrado están ubicados cada 50 metros.
El problema fundamental en el estudio del movimiento de un automóvil (o de una partícula, aquí el punto del automóvil se considera el punto medio ubicado en el parachoques frontal) es encontrar la velocidad como función del tiempo, a partir del conocimiento de la trayectoria S( t ).
Si la velocidad fuese constante, ella puede calcularse como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, esto es



de tal forma que la trayectoria de tal movimiento está modelada por la línea recta s = vt. Y es evidente que no es el caso que se describe en la gráfica anterior. Más aún si en algún momento el móvil sigue una trayectoria recta es porque toma una velocidad constante. Y como vemos aquí, en la gráfica, en ningún intervalo de tiempo la trayectoria es un segmento de línea recta. Aquí surge la dificultad para el cálculo de la velocidad en cualquier instante de tiempo.
Vamos a calcularla pensando "en pequeño", en intervalos de tiempo pequeñísimo, por ejemplo el intervalo [t, t + Dt] con Dt muy pequeño, la velocidad es "casi" constante, o de otra forma si el intervalo [t, t + Dt] es pequeño la velocidad no varía mucho de una cantidad constante. De otra forma, segmentos pequeños de trayectorias se pueden considerar como una línea recta, de tal forma que podemos calcular la velocidad en su forma más simple (cuando es constante): la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido.
La distancia transcurrida en el intervalo de tiempo [t, t + Dt] es S ( t + Dt ) - S ( t ), de tal forma que la velocidad es
(2)

Volvemos a insistir, la igualdad en (2) es la velocidad que lleva el automóvil (o la partícula) durante el intervalo de tiempo [t, t + Dt]. De modo que para pequeños valores de Dt la velocidad en (2) puede ser computada, de hecho los radares-pistolas de la policía calculan así la velocidad del automóvil que están apuntando.
Cuando Dt se hace más pequeño, y por ende Ds, la expresión en (2) llega a ser cada vez más precisa, y en un proceso de límite cuando Dt tiende a cero se tiene la velocidad instantánea del móvil en el instante t, esto es
(3)

La expresión en (3) es la que justifica la siguiente notación para derivadas (debido al Leibnitz):

martes, 18 de mayo de 2010

Dentro de una circunferencia encontramos distintos tipos de ángulos, por ejemplo:

= ángulo inscrito, con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

= ángulo semiinscrito, con el vértice en la circunferencia, un lado tangente en el vértice y otro que es una cuerda.

= ángulo central, con el vértice en el centro de la circunferencia y los lados coincidentes con radios.

= ángulo interior, con lados que son cuerdas de la circunferencia y el vértice situado en su interior.



[editar] Ángulo inscrito y ángulo central
El ángulo inscrito a una circunferencia es el que tiene el vértice en un punto perteneciente a ella, E, siendo sus lados cuerdas de la misma, AE y EB. Vemos que el ángulo inscrito abarca el arco AB. Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. En nuestro ejemplo son iguales los ángulos de vértices D, E, F, G. El ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca. El ángulo central es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, C, siendo sus lados dos radios, CA y CB. Vemos que el ángulo central dibujado abarca el arco AB. El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el central.

lunes, 17 de mayo de 2010

Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia



El arco AB se puede expresar en unidades de longitud y también en unidades angulares

La mediad angular del arco AB es igual a valor del ángulo central que lo abarca

Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia



Relación entre un águlo inscrito y el árco que abarca:



El triángulo QOB es isósceles ya que OQ=OB por ser radios de la misma circunferencia. Entonces .

En el triángulo QOB el ángulo que falta vale por ser adyacente al ángulo central .

La suma de los ángulos interiores es 180 y de ahí:







La consecuencia inmediata de esto es que si dos ángulos inscritos abarcan el mismo arco son iguales y los dos medirán la mitad de ese arco

Ángulo inscrito
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En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos secantes (o una secante y una tangente en el caso degenerado, llamado semi-inscrito), que se intersecan en la circunferencia. Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.

Propiedad [editar]

Los ángulos son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente

Ángulo central - Es un ángulo formado por dos rayas coplanares con respecto al círculo.

El vértice es el centro del círculo.
bloque1 bimestre1

Recta
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Para otros usos de este término, véase Recta (desambiguación).

Representación de un segmento de recta.
Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.En geometría euclidiana, la recta o línea recta, el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x e y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. “secante” proviene del término en latín para el verbo cortar => “secare”

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. "Secante" proviene del término en latín para el verbo cortar => "secare"

Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante empleando para saber la respuesta de ésta operación se emplea en matemáticas la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
congruencia de triangulos

Congruencia de triángulos
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La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados de igual medida o congruentes.
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Congruencia de tr�angulos

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Corresponde a la sesi�n de GA 2.12. LOS GEMELOS

Al observar y comparar figuras geom�tricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tama�o y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tama�o. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.



El s�mbolo que se emplea para denotar la congruencia es



Para comparar dos tri�ngulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuaci�n.

Congruencia de Triángulos
Sobre la noción de congruencia de triángulos

Igualdad y congruencia

El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el aprendiz conozca ésta, ya sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje natural, o bien a través de su uso en la aritmética. Es costumbre que en geometría se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida –y lo mismo es cierto para ángulos. Pero en el caso de dos triángulos la definición es más complicada pues no hay una medida (número) que defina a un triángulo.

El triángulo como configuración de puntos y rectas

Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su diversidad de forma: de acuerdo a la medida de sus ángulos pueden ser obtusángulos, rectángulos, acutángulos; de acuerdo a la relación de las medidas de sus lados pueden ser equiláteros, isósceles, escalenos. Es por eso que una noción previa a la definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto porque un triángulo (y cualquier polígono) es una configuración que consiste de puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de puntos.

Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización

Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes (iguales) es conveniente poner sus vértices en correspondencia. Decir que el triángulo ABC está en correspondencia con el IJK significa que la correspondencia entre sus vértices es A-I, B-J y C-K. Y en esta correspondencia queda implícita la correspondencia entre sus lados: AB-IJ, BC-JK y CA-KI. Pero también queda implícita la correspondencia entre sus ángulos: el ángulo en A es congruente con el ángulo en I, etc. (Nota: no todos los textos siguen esta convención, es decir, aun cuando afirmen “ABC está en correspondencia con IJK” no respetan las reglas anteriores de las correspondencias implícitas –una lástima… pero qué se le va a hacer.)

Y cuando digo “descubierto” quiero decir que el cognizador descubre la congruencia por métodos intuitivos e informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla. Es conveniente porque una vez establecida la correspondencia y la congruencia, en la forma en que se explica arriba, ya no es necesario ver la figura para plantear ecuaciones o razones, pues las correspondencias entre vértices y lados quedan implícitas en la correspondencia entre los triángulos como ya se explicó.

Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un dato,…) en el enunciado del problema debe sugerir que se puede usar congruencia para su solución. Y para encontrarla, una vez que se está buscando, es conveniente usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones. (La definición formal es: dos triángulos son congruentes si, en la correspondencia entre sus vértices, resultan iguales los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.) En una congruencia de triángulos entonces se tienen seis igualdades, tres lados y tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos digan si dos triángulos son congruentes sin tener que verificar las seis igualdades.
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3


Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm
S(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

Factorización de expresiones algebraicas
By hbracho • 20 Julio 2009 • Filed in: Nivelación en Matemáticas


He notado con preocupación que muchos estudiantes de educación media no manejan los aspectos básicos de las matemáticas y factorizar expresiones algebraicas es uno de ellos.

Como una pequeña contribución voy a colocar una serie de videos explicativos no sólo sobre el tema de factorización, sino de otros aspectos básicos pero esenciales para enfrentar con éxito las primeras asignaturas de las carreras de Ciencias e Ingeniería.

Comencemos con el método de factorización por factor común. Factorizar significa descomponer una expresión en un producto de dos o más partes. Éstas partes en las que se descompone la expresión se llaman factores. La factorización se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, es decir:




Vamos a ver un video con un ejemplo bien sencillo que muestra cómo se aplica la factorización por factor común.

bloque1 bimestre 1

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martes, 11 de mayo de 2010